Sucesiones y
series
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.
 |
Finita o infinita
Si
la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
si no es una sucesión finita
Ejemplos
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es
una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números
impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita
donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras
letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en
el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión
que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un
orden alternativo)
En orden
Cuando
decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que
decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o
el que quieras!
Una
sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y
el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es
la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería
sólo {0,1}
La regla
Una
sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de
cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y
salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
Decir
que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se
calcula el:
- 10º término,
- 100º término, o
- n-ésimo término (donde n puede
ser cualquier número positivo que queramos).
Así que queremos una fórmula con "n" dentro
(donde n será
la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero,
vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va
a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n
|
Término
|
Prueba
|
1
|
3
|
2n = 2×1 = 2
|
2
|
5
|
2n = 2×2 = 4
|
3
|
7
|
2n = 2×3 = 6
|
Esto casi funciona...
pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo
que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n
|
Término
|
Regla
|
1
|
3
|
2n+1 = 2×1 + 1 = 3
|
2
|
5
|
2n+1 = 2×2 + 1 = 5
|
3
|
7
|
2n+1 = 2×3 + 1 = 7
|
¡Funciona!
Así
que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la
regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
Ahora,
por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201
Notación
Para
que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:
Posición del término
|
|
 |
Es normal usar xn para
los términos:
|
Así que
para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5
|
Entonces
podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:
xn = 2n+1
Ahora,
si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
¿Puedes
calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones
especiales y sus reglas:
Tipos de sucesiones
Sucesiones aritméticas
El
ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o
progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el
siguiente es una constante.
Ejemplos
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
|
Esta
sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n-2
La regla es xn = 3n-2
3, 8, 13,
18, 23, 28, 33, 38, ...
|
Esta
sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es xn = 5n-2
La regla es xn = 5n-2
Sucesiones geométricas
En
una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por
un número fijo.
Ejemplos:
2, 4, 8,
16, 32, 64, 128, 256, ...
|
Esta
sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n
La regla es xn = 2n
3, 9, 27,
81, 243, 729, 2187, ...
|
Esta
sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
La regla es xn = 3n
4, 2, 1,
0.5, 0.25, ...
|
Esta
sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n
La regla es xn = 4 × 2-n
Sucesiones especiales
1, 3, 6,
10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
|
Esta
sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
xn = n(n+1)/2
Ejemplo:
- El quinto número triangular es x5 = 5(5+1)/2 = 15,
- y el sexto es x6 = 6(6+1)/2 = 21
Números cuadrados
1, 4, 9,
16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
|
El
siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es xn = n2
Números cúbicos
1, 8, 27,
64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
|
El
siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
0, 1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...
|
El
siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)
La regla es xn = xn-1 +
xn-2
Esta
regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por
ejemplo el 6º término se calcularía así:
x6 = x6-1 + x6-2 =
x5 + x4 = 5 + 3 = 8
Encontrar números que faltan
Para
calcular un número que falta primero necesitas saber la regla que
sigue la sucesión.
A
veces basta con mirar los números y ver el patrón.
Ejemplo: 1, 4, 9, 16, ?
Respuesta: son cuadrados (12=1, 22=4,
32=9, 42=16, ...)
Regla: xn = n2
Sucesión: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,
...
¿Has
visto cómo escribimos la regla con "x" y "n"?
xn significa "el término en la posición
n", así que el tercer término sería x3
Y
también hemos usado "n" en la fórmula, así que para el tercer término
hacemos 32 = 9. Esto se puede escribir
x3 = 32 = 9
Cuando
sepamos la regla, la podemos usar para calcular cualquier término, por ejemplo
término 25º se calcula "poniendo dentro" 25 donde
haya una n.
x25 = 252 = 625
Qué
tal si vemos otro ejemplo:
Ejemplo: 3, 5, 8, 13, 21, ?
Son la suma de los dos que están delante, o sea 3 + 5
= 8, 5 + 8 = 13 y sigue así (en realidad es parte de la Sucesión de Fibonacci):
Regla: xn = xn-1 + xn-2
Sucesión: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, ...
¿Qué
significa xn-1 aquí? Bueno, sólo significa "el
término anterior" porque la posición (n-1) es uno menos que (n).
Entonces,
si n es 6, será xn = x6 (el
6º término) y xn-1 = x6-1 = x5 (el
5º término)
Vamos
a aplicar la regla al 6º término:
x6 = x6-1 + x6-2
x6 = x5 + x4
Ya
sabemos que el 4º es 13, y que el 5º es 21, así que la respuesta es:
x6 = 21 + 13 = 34
Muy
simple... sólo pon números en lugar de "n"
Muchas reglas
Uno
de los problemas que hay en "encontrar el siguiente término" de una
sucesión es que las matemáticas son tan potentes que siempre hay más de una
regla que vale.
¿Cuál es el siguiente número de la
sucesión 1, 2, 4, 7, ?
Hay (por lo menos) tres soluciones:
Solución 1: suma 1, después suma 2, 3, 4, ...
Entonces, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11,
etc...
Regla: xn = n(n-1)/2 + 1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...
(La regla parece complicada, pero funciona)
Solución 2: suma los dos números anteriores más 1:
Regla: xn = xn-1 + xn-2 +
1
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, ...
Solución 3: suma los tres números anteriores
Regla: xn = xn-1 + xn-2 +
xn-3
Sucesión: 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44,
...
Así
que tenemos tres soluciones razonables, y cada una da una sucesión diferente.
¿Cuál
es la correcta? Todas son correctas.
 |
Y
habrá otras soluciones.
Hey,
puede ser una lista de números ganadores... así que el siguiente será...
¡cualquiera!
|
La regla más simple
Cuando
dudes, elige la regla más simple que funcione, pero menciona
también que hay otras soluciones.
Calcular diferencias
A
veces ayuda encontrar diferencias entre los términos... muchas
veces esto nos muestra una pauta escondida.
Aquí
tienes un ejemplo sencillo:
Las
diferencias siempre son 2, así que podemos adivinar que "2n" es parte
de la respuesta.
Probamos 2n:
n:
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Términos (xn):
|
7
|
9
|
11
|
13
|
15
|
2n:
|
2
|
4
|
6
|
8
|
10
|
Error:
|
5
|
5
|
5
|
5
|
5
|
La
última fila nos dice que siempre nos faltan 5, así que sumamos 5 y acertamos:
Regla: xn = 2n + 5
OK,
podías haber calculado "2n+5" jugando un poco con los números, pero
queremos un sistema que funcione, para cuando las sucesiones
sean complicadas.
Segundas diferencias
En
la sucesión {1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, ...} tenemos que calcular
las diferencias...
...
y después calcular las diferencias de esas diferencias (se
llaman segundas diferencias), así:
En
este caso las segundas diferencias son 1.
Con las segundas diferencias multiplicamos por "n2 /
2".
En
nuestro caso la diferencia es 1, así que probamos n2 /
2:
n:
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Términos (xn):
|
1
|
2
|
4
|
7
|
11
|
n2:
|
1
|
4
|
9
|
16
|
25
|
n2 / 2:
|
0.5
|
2
|
4.5
|
8
|
12.5
|
Error:
|
0.5
|
0
|
-0.5
|
-1
|
-1.5
|
Estamos
cerca, pero nos estamos desviando en 0.5 cada vez más, así que probamos
ahora: n2 / 2 - n/2
n2 / 2 - n/2:
|
0
|
1
|
3
|
6
|
10
|
Error:
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Ahora
nos sale 1 menos, así que sumamos 1:
n2 / 2 - n/2 + 1:
|
1
|
2
|
4
|
7
|
11
|
Error:
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
La
fórmula n2 / 2 - n/2 + 1 se puede simplificar a n(n-1)/2
+ 1
Así
que, con "prueba y error" hemos conseguido descubrir la regla.
Sucesión:
1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, 29, 37, ...
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